Logika Matematika (Althaf Akmal Ramadhan XI IPS 2)

                         LOGIKA MATEMATIKA

Logika matematika adalah cabang logika dan matematika yang mengandung kajian logika matematis dan aplikasi kajian ini pada bidang-bidang lain di luar matematika. Logika matematika berhubungan erat dengan ilmu komputer dan logika filosofis. Tema utama dalam logika matematika antara lain adalah kekuatan ekspresif dari logika formal dan kekuatan deduktif dari sistem pembuktian  formal.

i. Tabel Logika Matematika

A. Pernyataan
Pada dasarnya, pernyataan merupakan suatu kalimat yang bernilai benar ataupun salah, namun tidak keduanya. Sedangkan, suatu kalimat dikatakan bukan pernyataan jika kita tidak dapat menentukan apakah kalimat tersebut benar atau salah atau mengandung pengertian relatif. Di dalam logika matematika terdapat dua jenis pernyataan, yaitu pernyataan tertutup dan pernyataan terbuka.

Contoh:
7 + 3 = 10 (pernyataan tertutup yang bernilai benar)
6 × 9 = 20 (pernyataan tertutup yang bernilai salah)
10x + 10 = 40 (pernyataan terbuka, karena harus dibuktikan kebenarannya)

B. Ingkaran/Negasi (~)
Ingkaran didefinisikan sebagai sebuah pernyataan yang memiliki nilai kebenaran yang berlawanan dengan pernyataan semula. Berikut adalah tabel kebenaran ingkaran.

Artinya, jika suatu pertanyaan (p) bernilai benar (B), maka ingkaran (q) akan bernilai salah (S). Begitu pula sebaliknya.

Contoh:
p : Semua murid lulus ujian
~p : Ada murid yang tidak lulus ujian

C. Pernyataan Majemuk
Pernyataan majemuk merupakan pernyataan gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan kata hubung. Pernyataan majemuk di dalam logika matematika terdiri dari disjungsi , konjungsi , implikasi , dan biimplikasi.

i. Konjungsi 
Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘dan’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p  dan q’ yang disebut konjungsi yang dilambangkan dengan “p∧q”. Berikut adalah tabel kebenaran konjungsi.

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep konjungsi akan bernilai benar jika dan hanya jika kedua pernyataan (p dan q) benar.

ii. Disjungsi
Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘atau’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p  atau q’ yang disebut disjungsi yang dilambangkan dengan “p ∨ q”. Berikut adalah tabel kebenaran disjungsi.

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep disjungsi hanya akan bernilai salah jika kedua pernyataan (p dan q) salah.

iii. Implikasi

Implikasi bisa dipandang sebagai hubungan antara dua pernyataan di mana pernyataan kedua merupakan konsekuensi logis dari pernyataan pertama. Implikasi ditandai dengan notasi ‘⟹’. Misalkan p, q adalah pernyataan, implikasi berikut 

p ⟹ q

dibaca ‘jika p maka q’. Berikut adalah tabel kebenaran disjungsi.

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep implikasi akan bernilai salah jika dan hanya jika sebab bernilai benar namun akibat bernilai salah. Selain itu implikasi bernilai benar.

vi. Biimplikasi

Suatu pernyataan p dan q dapat digabungkan dengan menggunakan kata hubung ‘jika dan hanya jika’ sehingga membentuk pernyataan majemuk ‘p jika dan hanya jika q’ yang disebut biimplikasi yang dilambangkan dengan “p ⇔ q”. Berikut adalah tabel kebenaran biimplikasi

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa dalam konsep biimplikasi akan bernilai benar jika sebab dan akibatnya (pernyataan p dan q) bernilai sama. Baik itu sama-sama benar, atau sama-sama salah.

D. Ekuivalensi Pernyataan

Ekuivalen suatu pernyataan berarti kita mencari bentuk lain dimana nilai kebenarannya setara atau sama dengan pernyataan semula. Biasanya ada dua pernyataan majemuk yang sering ditanyakan bentuk ekuvalensinya yaitu implikasi dan biimplikasi, berikut ini rumusnya.

E. Implikasi (konvers,invers,kontraposisi)

i. Konvers

Kebalikan dari implikasi, ditandai dengan pertukaran letak.

p => q maka konvers nya adalah q => p.

ii. Invers

Pembalikan suatu susunan dari suatu susunan yang lazim. ~p=>~q disebut Invers dari p=>q.

iii. Kontraposisi

Kebalikan invers dan konvers. ~q=>~p disebut Kontraposisi dari p=>q.

F. Pernyataan berkuantor dan ingkarannya
Pernyataan kuantor yaitu bentuk pernyataan yang didalamnya terdapat konsep kuantitas. terdapat dua jenis kuantor, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.

i. Kuantor Universal
Kuantor universal digunakan dalam pernyataan yang menggunakan konsep setiap atau semua.

Contoh: Semua manusia tidak kekal
Notasi : (∀x), x є M

ii. Kuantor eksistensial
Kuantor eksistensial digunakan dalam pernyataan yang mengandung konsep ada, sebagian, beberapa, atau terdapat.

Contoh: Beberapa mahasiswa UII Pandai
Notasi : (Ǝx), x є M

G. Penarik kesimpulan (Modus ponens, modus tollens, modus silogisme)

i. Modus ponens
Modus ponens ditandai dengan adanya pernyataan majemuk implikasi dan pernyataan tunggal.

ii. Modus tollens
Modus tollens ditandai dengan adanya pernyataan majemuk implikasi dan ingkaran dari pernyataan tunggal.

iii. Modus silogisme
Modus silogisme ditandai dengan adanya dua pernyataan majemuk implikasi.