Skip to main content

Barisan dan deret aritmatika dan beberapa contoh soalnya

 Althaf Akmal Ramadhan (5) XI IPS 2

Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika merupakan barisan bilangan dengan pola yang tetap berdasarkan operasi penjumlahan dan pengurangan. Selisih antara dua suku berurutan pada barisan aritmetika disebut beda yang dilambangkan dengan b. Rumus untuk menentukan beda pada barisan aritmetika adalah sebagai berikut. 

b=Un-Un-1

Keterangan:

b = beda;

Un= suku ke-n;

Un+1= suku sebelum suku ke-n; dan

n= banyaknya suku.

1. Bentuk barisan aritmatika

Adapun bentuk barisan aritmetika adalah sebagai berikut.

U1, U2, U3, ..., Un dengan ∈ Asli

Rumus selisih atau bedanya, adalah sebagai berikut.

Un-1-Un=b

Keterangan:

Un+1= suku ke-(n +1);

Un = suku ke-n; dan

b = beda atau selisih.

Akibat dari rumus suku ke-n tersebut, dapat diperoleh:

U1,  U2,  U3,  …,   Un-2,   Un-1,   Un a,     a+b, a+2b,   …, a+n-3b,   a+n-2b,   a+n-1b

Jika banyak suku (n) ganjil, suku tengah (Ut) barisan aritmetika dapat dirumuskan sebagai berikut.


Sementara itu, jika di antara dua buah suku U1,U2,U3,…,Un disisipkan k buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmetika baru, beda dan banyak suku dari barisan tersebut akan berubah sesuai rumusan berikut.

Keterangan:

b’= beda barisan aritmetika baru;

b= beda barisan aritmetika lama;

k= banyak bilangan yang disisipkan;

n‘= banyak suku barisan aritmetika baru; dan

n= banyak suku barisan aritmetika lama.

Perlu diingat bahwa suku pertama barisan baru sama dengan suku pertama barisan lama.

2. Suku ke-n barisan aritmetika

Saat kamu diminta untuk mencari suku ke-n dari barisan aritmetika, cara termudahnya adalah dengan menelusuri satu per satu sampai mencapai suku ke-n. Namun, cara ini tergolong tidak praktis dan membutuhkan banyak waktu. Jika yang diminta suku ke-10 mungkin masih bisa. Bagaimana jika yang diminta suku ke-1000? pasti rumit kan? Untuk itu, rumus suku ke-n yang bisa kamu gunakan adalah sebagai berikut.


Keterangan:

a = suku awal (U1);

Un= suku ke-n; dan

b = beda atau selisih.

Agar kamu lebih paham, yuk simak contoh soal berikut.

Contoh soal 1

Tentukan suku ke-20 dari barisan 2, 6, 10, 14, …, …,!

Pembahasan:

Diketahui:

a = 2

b = 6 – 2 = 4

Ditanya: U20 =…?

Pembahasan:

3. Suku tengah barisan aritmetika

Jika kamu menemukan barisan aritmetika yang banyak sukunya ganjil, pasti barisan aritmatika tersebut memiliki suku tengah (Ut). Secara matematis, Ut dirumuskan sebagai berikut.


Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.

Contoh soal 2

Suku tengah barisan aritmetika adalah 15. Jika banyaknya suku barisan tersebut 11 dan suku ke-4 bernilai -3, tentukan suku terakhirnya!

Pembahasan:

Diketahui:

Ut = 15

n = 11

Ditanya: Un =…?

Pembahasan:

Pertama, kamu harus mencari nilai t.

Suku tengah adalah suku ke-6. Artinya, U6 = 15.
Untuk mencari nilai a dan b, gunakan metode eliminasi.
Substitusikan nilai b ke persamaan (1).
Selanjutnya, tentukan suku terakhir barisan tersebut.

Jadi, suku terakhirnya adalah 60.

4. Sisipan bilangan pada barisan aritmatika

Misalkan kamu menjumpai barisan aritemtika dengan beda b. Lalu, barisan aritmetika tersebut disisipi k bilangan di setiap 2 bilangan yang berdekatan. Setelah disisipi k bilangan, terbentuk barisan aritmetika baru yang bedanya b’. Pertanyaannya adalah berapakah beda bilangan, gunakan persamaan berikut.

Ketentuannya, suku pertama barisan yang baru sama dengan suku pertama barisan sebelumnya karena bilangan yang disisipkan tidak berada di awal baris.

Deret Aritmatika

Deret aritmetika berkaitan dengan barisan aritmetika. Deret aritmetika yang disimbolkan dengan Sn merupakan jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Dengan kata lain, penjumlahan dari suku-suku barisan aritmatika disebut dengan deret aritmatika.


Rumus jumlah n suku pertama dari deret aritmetika tersebut adalah sebagai berikut.

Substitusikan Un=a+(n-1) b, sehingga diperoleh:


Misalkan Sn-1= U1 +U2+ U3+ … +Un-1 dan Sn=U1+U2+ U3+…+Un-1+Un. Ini berarti, hubungan antara Sn-1 dan Un adalah sebagai berikut.

Contoh soal 3

Berapakah jumlah bilangan kelipatan 3 antara 10 sampai 100?

Pembahasan:

Jumlah bilangan kelipatan 3 antara 10 sampai 100 adalah sebagai berikut.

Keterangan:

a = 12

banyaknya suku = 30

Jadi, jumlah bilangan kelipatan 3 antara 10 sampai 100 adalah 1.665.


Daftar pustaka:

- https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/barisan-dan-deret-matematika-kelas-11/

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Pembuktian Langsung, Tidak Langsung, Kontradiksi dan Induksi Matematika

Pembuktian Matematika Althaf Akmal Ramadhan (4) XI IPS 2 1. Pembuktian Langsung Pembuktian langsung adalah metode pembuktian yang menggunakan alur maju. Mulai dari pendefinisian sampai menghasilkan kesimpulan. Gampangnya sih, “kalau A maka B dan kalau B maka C”. Nah, untuk menggunakan alur maju, maka pernyataan-pernyataan sebelumnya harus benar. Coba kamu buktikan pernyataan ini. “Jumlah dari dua bilangan genap adalah bilangan genap” Ya... kalau kita pikir-pikir, ya pasti sih, 2 + 2 = 4 dan 4 + 10 = 14. Tapi gimana ya buat bisa membuktikan kalau pernyataan itu berlaku buat semua bilangan genap? Coba perhatikan gambar di bawah ini. Jadi pertama kamu definisikan dulu  bilangan genap itu seperti apa. Bila definisinya sudah benar, lanjut ke pernyataan selanjutnya, maka penjumlahan kedua bilangan itu akan seperti apa. Kamu juga butuh sedikit memanipulasi penjumlahan itu agar bisa mendapat bentuk yang diinginkan. Setelah itu, lanjut ke kesimpulan. Ingat, kesimpulannya h...
Post a Comment
Read more
Soal Trigonometri dan Pembahasan Althaf Akmal Ramadhan (4) X IPS 2 1. 2. 3.   4. Berapa nilai sin 120°? Jawaban: 120 = 90 + 30, jadi sin 120° dapat dihitung dengan Sin 120° = Sin (90° + 30°) = Cos 30° (nilainya positif karena soalnya adalah sin 120°, di kuadran 2, maka hasilnya positif) Cos 30° = ½ √3 5. Tentukan nilai dari: 2 cos 75° cos 15° Jawaban: 2 cos 75° cos 15° = cos (75 +15)° + cos (75 – 15)° = cos 90° + cos 60° = 0 + ½ = ½ 6. Diketahui p dan q adalah sudut lancip dan p – q = 30°. Jika cos p sin q = 1/6 , maka nilai dari sin p cos q = Jawaban: p – q = 30° sin (p – q)= sin 30° sin p cos q – cos p sin q = ½ sin p cos q – 1/6 = ½ sin p cos q = ½ + 1/6 = 4/6 jadi nilai sin p cos q = 4/6 7. A dan B titik ujung sebuah terowongan yang dilihat dari C dengan sudut lihat ACB=45˚ ,Jika garis CB =p dan CA=2p√2 , maka panjang terowongan itu adalah… Jawaban: Aturan Cosinus AB²=CB²+CA²-2CA.CB cos C AB²=p²+(2p√2...
Post a Comment
Read more

PTS MTK

 Althaf Akmal Ramadhan (4) XI IPS 2 1. Diketahui premis-premis berikut Premis1 Jika masyarakat mencampakkan sampah pada tempatnya maka lingkungan bersih. Premis 2: Jika lingkungan bersih maka hidup akan nyaman. Kesimpulan yang sah dari kedua premis tersebut adalah... Jawaban : Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan nyaman. 2. Buktikan dengan induksi matematika bahwa P 1 + 3 + 5 ++ (2n-1) = n bernilai benar untuk setiap n bilangan asli.  Jawaban : Untuk pembuktian suatu rumus tersebut benar (berlaku), bisa kita gunakan induksi matematika, yang terdiri dari dua langkah yaitu: Buktikan untuk n = 1 benar Misal untuk n = k benar, akan dibuktikan untuk n = (k + 1) juga benar Pembahasan 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) = n² Langkah pertama   Akan dibuktikan untuk n = 1 Benar (2n – 1) = n² 2(1) – 1 = 1² 2 – 1 = 1 1 = 1 (benar) Langkah kedua Misal untuk n = k benar 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k – 1) = k² Akan dibuktikan untuk n = (k + 1) juga benar 1 + 3 + 5 + 7 ...
Post a Comment
Read more